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<title>Lebesgue-Integral</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Lebesgue-Integral</h1>

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</div>

Das Lebesgue-Integral (nach <a href="Henri_L%C3%A9on_Lebesgue" title="Henri Léon Lebesgue">Henri Léon Lebesgue</a> [<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r227981795">

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</style><a href="Liste_der_IPA-Zeichen" title="Liste der IPA-Zeichen">ɑ̃ʁiː leɔ̃ ləˈbɛg</a>], 1875–1941) ist der <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integralbegriff</a> der modernen Mathematik, der die Integration von <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> ermöglicht, die auf beliebigen <a href="Ma%C3%9Fraum" title="Maßraum">Maßräumen</a> definiert sind. Im Fall der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> mit dem <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> stellt das Lebesgue-Integral eine echte Verallgemeinerung des <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integrals</a> dar.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies: Zur Annäherung des Riemann-Integrals (Abb. 1 blau) wird die <a href="Abszisse" class="mw-redirect" title="Abszisse">Abszissenachse</a> in Intervalle unterteilt (<a href="Partition_(Mengenlehre)" title="Partition (Mengenlehre)">Partitionen</a>) und Rechtecke gemäß dem Funktionswert an einer <a href="St%C3%BCtzstelle" title="Stützstelle">Stützstelle</a> innerhalb der betreffenden Intervalle konstruiert und diese Flächen addiert. Dagegen wird zur Annäherung des Lebesgue-Integrals (Abb. 1 rot) die <a href="Ordinate" class="mw-redirect" title="Ordinate">Ordinatenachse</a> in Intervalle unterteilt und die Flächen zur Approximation ergeben sich aus einer Stützstelle des jeweiligen Ordinatenintervalls multipliziert mit der Gesamtlänge der <a href="Vereinigung_(Mengenlehre)" class="mw-redirect" title="Vereinigung (Mengenlehre)">Vereinigung</a> der <a href="Urbild_(Mathematik)" title="Urbild (Mathematik)">Urbilder</a> des Ordinatenintervalls (gleiche Rottöne). Die Summe der so gebildeten Flächen ergibt eine Approximation des Lebesgue-Integrals. Die Gesamtlänge der Urbild-Menge wird auch als ihr <a href="Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> bezeichnet. Man vergleiche dazu auch das Zitat von Henri Lebesgue im <a href="#Riemann-_und_Lebesgue-Integral">Abschnitt unten</a>.

So wie ein Riemann-Integral durch die <a href="Konvergenz_(Mathematik)" title="Konvergenz (Mathematik)">Konvergenz</a> des <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhaltes</a> einer <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> von <a href="Treppenfunktion_(reelle_Funktion)" title="Treppenfunktion (reelle Funktion)">Treppenfunktionen</a> definiert ist, so ist das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz einer Folge von sog. <a href="Einfache_Funktion" title="Einfache Funktion">einfachen Funktionen</a> definiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichtliches_zum_Lebesgue-Integral">Geschichtliches zum Lebesgue-Integral</h2></div>

Die Begründung der Differential- und Integralrechnung beginnt im 17. Jahrhundert mit <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> und <a href="Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a> (1687 erscheint Newtons „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“). Sie stellt einen Meilenstein in der Wissenschaftsgeschichte dar, besaß man doch nun zum ersten Mal ein mathematisches Konzept zur Beschreibung kontinuierlicher, dynamischer Prozesse in der Natur und – dadurch motiviert – zur Berechnung krummlinig berandeter Flächen. Es sollten aber noch viele Jahrzehnte vergehen, bis die Integralrechnung gegen Mitte des 19. Jahrhunderts durch <a href="Augustin_Louis_Cauchy" class="mw-redirect" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a> und <a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> auf ein solides theoretisches Fundament gestellt wurde.

Die Verallgemeinerung des so genannten <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integrals</a> auf höherdimensionale Räume, zum Beispiel zur Berechnung der Volumina beliebiger Körper im Raum, erwies sich jedoch als schwierig. Die Entwicklung eines moderneren und leistungsfähigeren Integralbegriffes ist untrennbar mit der Entwicklung der <a href="Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">Maßtheorie</a> verknüpft. Tatsächlich begannen die Mathematiker erst reichlich spät systematisch zu untersuchen, wie sich beliebigen <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmengen</a> des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> in sinnvoller Weise ein Volumen zuordnen lässt. Unverzichtbare Voraussetzung für diese Arbeiten war die strenge axiomatische Begründung der <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a> durch <a href="Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> und <a href="Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> und die Begründung der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> durch Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts.

Erste Antworten auf die Frage nach dem Volumen beliebiger Teilmengen des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gaben zum Beispiel <a href="Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> und <a href="Camille_Jordan" title="Camille Jordan">Camille Jordan</a>. Eine befriedigende Lösung dieses Problems gelang aber erst <a href="%C3%89mile_Borel" title="Émile Borel">Émile Borel</a> und <a href="Henri_Lebesgue" class="mw-redirect" title="Henri Lebesgue">Henri Lebesgue</a> durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes. 1902 formulierte Lebesgue in seiner Pariser Thèse zum ersten Mal das moderne Maßproblem und wies explizit darauf hin, es nicht in voller Allgemeinheit lösen zu können, sondern nur für eine ganz bestimmte Klasse von Mengen, die er messbare Mengen nannte. Tatsächlich sollte sich herausstellen, dass das Maßproblem nicht allgemein lösbar ist, d. h. tatsächlich Mengen existieren, denen man kein sinnvolles Maß zuordnen kann (siehe <a href="Satz_von_Vitali_(Ma%C3%9Ftheorie)" title="Satz von Vitali (Maßtheorie)">Satz von Vitali</a>, <a href="Banach-Tarski-Paradoxon" title="Banach-Tarski-Paradoxon">Banach-Tarski-Paradoxon</a>). Durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes stand nun der Weg für einen neuen, verallgemeinerbaren Integralbegriff offen. Die erste Definition des Lebesgue-Integrals gab denn auch Henri Lebesgue in seiner Thèse gleich selbst. Weitere bedeutende Definitionen des Lebesgue-Integrals stammten wenig später von <a href="William_Henry_Young" title="William Henry Young">William Henry Young</a> (1905) und <a href="Frigyes_Riesz" title="Frigyes Riesz">Frigyes Riesz</a> (1910). Die nachfolgend vorgestellte Definition, die mittlerweile in der Fachliteratur am üblichsten ist, folgt der Konstruktion Youngs.

Heutzutage ist das Lebesgue-Integral der Integralbegriff der modernen Mathematik. Seine Verallgemeinerbarkeit und seine – aus mathematischer Sicht – schönen Eigenschaften machen ihn auch zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>, der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> und der <a href="Wahrscheinlichkeitstheorie" title="Wahrscheinlichkeitstheorie">Wahrscheinlichkeitstheorie</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zur_Konstruktion_des_Lebesgue-Integrals">Zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Maßraum_und_messbare_Mengen">Maßraum und messbare Mengen</h3></div>

Das Lebesgue-Integral wird für Funktionen auf einem beliebigen <a href="Ma%C3%9Fraum" title="Maßraum">Maßraum</a> definiert. Ein Maßraum auf einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> besteht aus einer Auswahl von Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy">, die als messbar gelten, und einem sogenannten <a href="Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">, mit welchem einer messbaren Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> ihr Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {\mu }}(A)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {\mu }}(A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a0d903bd23ceeed6fc39c529483b4adf5ce00e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.954ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {\mu }}(A)}" loading="lazy"> zugeordnet wird. Dieses Maß einer messbaren Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist stets eine nichtnegative reelle Zahl oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +\infty }" loading="lazy">. Hierbei müssen sowohl die Auswahl der als messbar geltenden Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> als auch das Maß gewisse Axiome erfüllen.

Für die Integration von auf Teilmengen des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> definierten Funktionen verwendet man in der Regel das <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">. Dieses ist dadurch charakterisiert, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen <a href="Hyperrechteck" title="Hyperrechteck">Hyperrechtecken</a> ihr „normales“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionales <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> zugeordnet wird: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ([a_{1},b_{1}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdot \ldots \cdot (b_{n}-a_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ([a_{1},b_{1}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdot \ldots \cdot (b_{n}-a_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7db117ee1c6eab6b1879a562fbe45161e8007bde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.703ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda ([a_{1},b_{1}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdot \ldots \cdot (b_{n}-a_{n})}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integration_einfacher_Funktionen">Integration einfacher Funktionen</h3></div>

So wie das <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integral</a> mittels Approximation durch <a href="Treppenfunktion_(reelle_Funktion)" title="Treppenfunktion (reelle Funktion)">Treppenfunktionen</a> konstruiert wird, konstruiert man das Lebesgue-Integral mit Hilfe sogenannter <a href="Einfache_Funktion" title="Einfache Funktion">einfacher Funktionen</a>. Diese Vorgehensweise wird manchmal auch als „<a href="Ma%C3%9Ftheoretische_Induktion" title="Maßtheoretische Induktion">algebraische Induktion</a>“ bezeichnet und findet in vielen Beweisen für messbare Funktionen Verwendung.

Eine einfache Funktion, auch Elementarfunktion genannt, ist eine nicht-negative <a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">messbare Funktion</a>, die nur endlich viele Funktionswerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}" loading="lazy"> annimmt. Somit lässt sich jede einfache Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> schreiben als

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c8315d4f4de0a83bceabd5789e9bbfca53d032b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.058ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei ist, für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\ldots ,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5726d00b79af1b4666a6319c45381579dc85a9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\ldots ,n}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}" loading="lazy"> eine <a href="Positive_Zahl" class="mw-redirect" title="Positive Zahl">positive</a> <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" loading="lazy"> eine messbare Menge, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{A_{i}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{A_{i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c43ce0659e979d0b0ccbaaaf072abd13e075d2d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.545ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \chi _{A_{i}}}" loading="lazy"> die <a href="Indikatorfunktion" title="Indikatorfunktion">charakteristische Funktion</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" loading="lazy"> (diese nimmt auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" loading="lazy"> den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> an und außerhalb von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" loading="lazy"> den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">) und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}" loading="lazy"> sind alle disjunkt.

Nun lässt sich auf sehr natürliche Weise das Integral einer einfachen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> definieren:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }\phi \ \mathrm {d} \mu :=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mu (A_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e859dadc698d760845949251e6a628ee3c16edae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.287ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }\phi \ \mathrm {d} \mu :=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mu (A_{i})}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Integral von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> ist also einfach die Summe der Produkte aus dem Funktionswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> und dem Maß der Menge, auf der die Funktion den jeweiligen Wert annimmt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integration_nicht-negativer_Funktionen">Integration nicht-negativer Funktionen</h3></div>

Nun definiert man zunächst das Integral für nicht-negative Funktionen, d. h. für Funktionen, die keine negativen Werte annehmen. Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion ist ihre <a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">Messbarkeit</a>.

Eine nicht-negative (numerische) Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \left(\Omega ,\Sigma ,\mu \right)\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \left(\Omega ,\Sigma ,\mu \right)\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b8d4e07b5941b88122bdb51f04202aeeeb32d46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.114ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \left(\Omega ,\Sigma ,\mu \right)\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})}">

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe0e17ea4bcaba4233deae10b9b865839feef63e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.031ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})}" loading="lazy"> die <a href="Borelsche_%CF%83-Algebra" title="Borelsche σ-Algebra">Borelsche σ-Algebra</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55c15a406946074613e09e4ae53bdfec849ec523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}" loading="lazy"> bezeichnet, ist genau dann messbar, wenn es eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d822f0926e32e090d67100eca20476c144bee03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.668ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> von einfachen Funktionen gibt, die <a href="Punktweise_Konvergenz" title="Punktweise Konvergenz">punktweise</a> und monoton wachsend gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">konvergiert</a>. Man definiert nun das Integral einer nicht-negativen, messbaren Funktion durch

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\,\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/587bbf374236f8568eab872815274ad5b5b5da1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.754ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\,\mathrm {d} \mu }" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.358ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}}" loading="lazy"> einfach sind und punktweise und monoton wachsend gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> konvergieren. Der Limes ist von der speziellen Wahl der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.358ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}}" loading="lazy"> unabhängig. Das Integral kann auch den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +\infty }" loading="lazy"> annehmen.

Häufig findet man in der Literatur auch folgende äquivalente Definition:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mtext>einfach</mtext>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\sup \left\lbrace \int _{\Omega }\phi \,\mathrm {d} \mu \,\vert \,\phi \ {\text{einfach}},0\leq \phi \leq f\right\rbrace }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb8036e2166d0831c051b6b983320183b09d9648.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:47.112ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\sup \left\lbrace \int _{\Omega }\phi \,\mathrm {d} \mu \,\vert \,\phi \ {\text{einfach}},0\leq \phi \leq f\right\rbrace }" loading="lazy"></dd></dl>

Man definiert also das Integral einer nicht-negativen messbaren Funktion, indem man die Funktion „von unten“ beliebig genau durch einfache Funktionen approximiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integration_beliebiger_messbarer_Funktionen_und_Integrierbarkeit">Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit</h3></div>

Um das Integral einer beliebigen messbaren Funktion zu definieren, zerlegt man diese in ihren <a href="Positivteil_und_Negativteil_einer_reellwertigen_Funktion" title="Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion">positiven und negativen Anteil</a>, integriert diese beiden einzeln und zieht die Integrale voneinander ab. Das ergibt aber nur dann einen Sinn, wenn die Werte dieser beiden Integrale endlich sind (zumindest der Wert eines der beiden Integrale).

Der <a href="Positivteil" class="mw-redirect" title="Positivteil">Positivteil</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{+}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1287ce7b0d53ec4a6c26a4c31f5a8f747be9ba98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.831ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f^{+}}" loading="lazy"> einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist (punktweise) definiert als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fd984dd92de398551dc6260dd268ff6552545a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.055ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}}" loading="lazy">.

Der <a href="Negativteil" class="mw-redirect" title="Negativteil">Negativteil</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86c160282cc6444329bc1a54ab6e1f6c6530c594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.831ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f^{-}}" loading="lazy"> wird entsprechend (punktweise) durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f562b7e1a53cf6cd0ff21332666fb058073bc5ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.864ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}}" loading="lazy"> definiert.

Es gilt dann (punktweise) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{+}\geq 0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{+}\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fc4517824abe34ca6f96fb77e59e9ff173f396b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.092ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f^{+}\geq 0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-}\geq 0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-}\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7462582458e5ece9088f566ac83a960ebf2ee37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.092ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f^{-}\geq 0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1f5c74fdef510f89bd0f01da313acfc9b61530.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{+}+f^{-}=|f|}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{+}+f^{-}=|f|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b645dcde246f00266e8c90cce61bb38c9cc0b4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.174ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{+}+f^{-}=|f|}" loading="lazy">.

Eine Funktion heißt <a href="Quasiintegrierbare_Funktion" class="mw-redirect" title="Quasiintegrierbare Funktion">µ-quasiintegrierbar</a> oder quasiintegrierbar bezüglich des Maßes µ, wenn mindestens eines der beiden Integrale

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f^{+}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/769a7e6d9f6ce07e983c497cde0c15b6c8545969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.205ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f^{+}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f^{-}\ \mathrm {d} \mu }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f^{-}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbcaca43855862f3493892cbd8c071086ee592b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.205ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f^{-}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

endlich ist.

In diesem Falle heißt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f^{+}\ \mathrm {d} \mu -\int _{\Omega }f^{-}\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd17bdfcc1553840510ae122cb56e93f6c9ba030.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.419ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f^{+}\ \mathrm {d} \mu -\int _{\Omega }f^{-}\mathrm {d} \mu }" loading="lazy">.</dd></dl>

das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Integral von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy">.

Für alle messbaren Teilmengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5d4ebbcaa2e17dc177807e3735798388bb6c4b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.52ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq \Omega }" loading="lazy"> ist dann

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f\cdot \chi _{A}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9b5ad093f9e6fc0e49be7299fc0828d6b81b4a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.467ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f\cdot \chi _{A}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Integral von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">.

Eine Funktion heißt µ-integrierbar oder integrierbar bezüglich des Maßes µ, wenn beide Integrale

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f^{+}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/769a7e6d9f6ce07e983c497cde0c15b6c8545969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.205ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f^{+}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f^{-}\ \mathrm {d} \mu }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f^{-}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbcaca43855862f3493892cbd8c071086ee592b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.205ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f^{-}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

endlich sind.

Äquivalent dazu ist die Bedingung

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }|f|\,\mathrm {d} \mu <\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb798923f91f4559eafa513da74b21ed9865816d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.174ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }|f|\,\mathrm {d} \mu <\infty }" loading="lazy">.</dd></dl>

Offensichtlich ist jede integrierbare Funktion quasiintegrierbar.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schreibweisen_und_Spezialfälle">Schreibweisen und Spezialfälle</h2></div>

Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet: Im Folgenden sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5d4ebbcaa2e17dc177807e3735798388bb6c4b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.52ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq \Omega }" loading="lazy"> eine messbare Menge. Will man bei der Integration die Integrationsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> angeben, so schreibt man

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b8782148927ed5fe8ef35edc22e2a4ea4af924d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.782ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mu (\mathrm {d} x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mu (\mathrm {d} x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cc65de6be3fb9a79b8f32d795a7fd6a5e595e0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.782ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mu (\mathrm {d} x)}" loading="lazy"> oder auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{A}\mu (\mathrm {d} x)\,f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}\mu (\mathrm {d} x)\,f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfc8a2fe101021a4a4bf0e67671119c2efe21656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.782ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}\mu (\mathrm {d} x)\,f(x)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/504f9ebcf49b94b718a345cd7de6acb74e54711b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> und das Lebesgue-Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> schreibt man statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \lambda (x)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \lambda (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8fd9378d7f84fa8fbadcb433b5b0913aa21efbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \lambda (x)}" loading="lazy"> einfach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b637d7a6d64d797391d40ceae9e8696e5d76f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} x}" loading="lazy">, im eindimensionalen Fall, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa509a134d45e796a6c29cf98237b4a2ff85fd8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }" loading="lazy">, schreibt man auch

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c980562004d96eee429ecea3062e59076825a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.216ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

für das Integral über das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ]a,b[}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ]a,b[}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ]a,b[}" loading="lazy">.

Wenn das Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> eine <a href="Satz_von_Radon-Nikod%C3%BDm" title="Satz von Radon-Nikodým">Radon-Nikodým-Dichte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{A}f(x)\,h(x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f13b4ee9faa00e7c3c4082f534983e50b6a91a9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.93ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{A}f(x)\,h(x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"> .</dd></dl>

In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62be2e6c9481f544e3304a133033f9db2f02582c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.436ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

häufig auch dann verwendet, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> nicht als Funktion, sondern als <a href="Distribution_(Mathematik)" title="Distribution (Mathematik)">Distribution</a> auffasst.

Ist das Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa509a134d45e796a6c29cf98237b4a2ff85fd8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }" loading="lazy"> durch eine <a href="Verteilungsfunktion_(Ma%C3%9Ftheorie)" title="Verteilungsfunktion (Maßtheorie)">Verteilungsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> definiert, so erhält man das <a href="Lebesgue-Stieltjes-Integral" class="mw-redirect" title="Lebesgue-Stieltjes-Integral">Lebesgue-Stieltjes-Integral</a>, das mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} F(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce5a3a4f67929773f5a865a2e8adc5abade45eb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.121ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} F(x)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} F}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/466b0ff66087c7e8ead019bf74b737127a290f0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.843ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} F}" loading="lazy"></dd></dl>

bezeichnet wird.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> ein <a href="Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F" title="Wahrscheinlichkeitsmaß">Wahrscheinlichkeitsmaß</a>, so kann man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> auffassen (wofür die Notation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> üblich ist). Man definiert dann den <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {E} (f)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {E} (f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf84a2cab52bba9002b917da31ec29475a0dece.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.638ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {E} (f)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/308c4019760a24956255231f77ab851825d62e4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.845ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \,}" loading="lazy">.</dd></dl>

In der <a href="Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen Physik</a> wird die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle f\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle f\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/870037af06b737f0f7e35b42eb3b18ec1ce0199a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.088ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle f\rangle }" loading="lazy"> verwendet, in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> manchmal die Schreibweise<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mu (f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mu (f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a4f05f545cb70599a4ec4a49f36aedcae2d582c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \mu (f)}" loading="lazy">, in der Maßtheorie auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c99072e42c281e3f5b8bf04fb17226aa42d331cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.68ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu f}" loading="lazy"><a href="#cite_note-1">[1]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nullmengen_und_fast_überall_bestehende_Eigenschaften">Nullmengen und fast überall bestehende Eigenschaften</h2></div>

Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\subset \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65b9f9b11e2fa65f2db63485ca822bba118fd29c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.84ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\subset \Omega }" loading="lazy">, die das Maß 0 besitzt, heißt <a href="Nullmenge" title="Nullmenge">Nullmenge</a>, im Falle des Lebesgue-Maßes auch speziell Lebesgue-Nullmenge.

Ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\subset \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65b9f9b11e2fa65f2db63485ca822bba118fd29c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.84ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\subset \Omega }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mu (N)=0\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mu (N)=0\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b344e93f2eb15e2fdde08ac04daeca244cec4159.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.697ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \mu (N)=0\ }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine integrierbare Funktion, so gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega \setminus N}f\,\mathrm {d} \mu +\int _{N}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega \setminus N}f\,\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04fd4e26a531c142018bb9774ce57443dc45a865.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:43.706ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega \setminus N}f\,\mathrm {d} \mu +\int _{N}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega \setminus N}f\,\mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

da das Integral über die Nullmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> den Wert 0 annimmt. (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \setminus N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \setminus N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05e3cacf54623a42b3ad428fb6d18de8f74a5244.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega \setminus N}" loading="lazy"> bezeichnet die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> ohne die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">)

Folglich ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf einer Nullmenge ändert. Besitzt eine Funktion eine Eigenschaft (Stetigkeit, punktweise Konvergenz etc.) auf dem gesamten Definitionsbereich mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0, so sagt man, diese Eigenschaft bestehe <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a>. In der Lebesgue’schen Integrationstheorie ist es folglich oft sinnvoll, zwei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, auch als gleich anzusehen – man fasst sie zu einer <a href="%C3%84quivalenzrelation" title="Äquivalenzrelation">Äquivalenzklasse</a> zusammen (siehe hierzu auch <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">Lp</a>).

Es ist sogar oft so, dass man Funktionen, die nur fast überall definiert sind (z. B. der punktweise Limes einer <a href="Funktionenfolge" title="Funktionenfolge">Funktionenfolge</a>, die nur fast überall konvergiert), als Funktionen auf dem ganzen Raum auffasst und ohne Bedenken

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\,d\mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b25471c3e4882d80b69c183279bab8883485d9db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.382ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\,d\mu }" loading="lazy"></dd></dl>

schreibt, auch wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> gar nicht auf ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> definiert ist. Dieses Vorgehen ist dadurch gerechtfertigt, dass jede Fortsetzung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sich nur auf einer Nullmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> unterscheidet und somit das Integral der Fortsetzung über ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> den gleichen Wert hat wie das Integral über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \setminus N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \setminus N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05e3cacf54623a42b3ad428fb6d18de8f74a5244.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega \setminus N}" loading="lazy">.

Man muss beachten, dass eine Nullmenge nur im Sinne des Maßes vernachlässigbar „klein“ ist. Sie kann aber auch durchaus unendlich viele Elemente enthalten. So ist zum Beispiel die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3504d367289b97dc71bcc8fa1ce4add7a8fefeef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.585ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }" loading="lazy">, also die Menge der <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a> als Teilmenge der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> eine Lebesgue-Nullmenge. Die <a href="Dirichlet-Funktion" title="Dirichlet-Funktion">Dirichlet-Funktion</a>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51d10bf8215711e6feb0408c497fd0a0ebecf315.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.474ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist also im oben genannten Sinne gleich der Funktion, die konstant den Wert Null annimmt (<a href="Nullfunktion" title="Nullfunktion">Nullfunktion</a>), obwohl es keine noch so kleine Umgebung gibt, in der ihre Werte übereinstimmen. Eine bekannte überabzählbare (zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> gleichmächtige) Lebesgue-Nullmenge ist die <a href="Cantor-Menge" title="Cantor-Menge">Cantor-Menge</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wichtige_Eigenschaften_des_Lebesgue-Integrals">Wichtige Eigenschaften des Lebesgue-Integrals</h2></div>

Das Integral ist linear in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d0bae2630d01158dd18f851508a734f7f8cba10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.658ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}" loading="lazy"> (<a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">Raum der integrierbaren Funktionen</a>), d. h. für integrierbare Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a7cd8f2c9f7c532472574d7a1713be631b0f77a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.44ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ f\ }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ g\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ g\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbd6e38260def93e33e21e52e1370a9335ea4100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ g\ }" loading="lazy"> und beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0a0410274a81d9645d3d0ff8e949b42811ff47c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.372ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha f+\beta g\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha f+\beta g\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2df3190198c9cc431e0d463c59a27a1d0203d43b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha f+\beta g\ }" loading="lazy"> integrierbar und es gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \cdot \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\beta \cdot \int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e56e98c2c512e897a382e35679e3829cc6b25da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:42.527ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \cdot \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\beta \cdot \int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

Das Integral ist monoton, d. h. sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a7cd8f2c9f7c532472574d7a1713be631b0f77a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.44ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ f\ }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ g\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ g\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbd6e38260def93e33e21e52e1370a9335ea4100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ g\ }" loading="lazy"> zwei messbare Funktionen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\leq g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\leq g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5430e5874a40bbd92426bc6b0bb5989fbaab6ad4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.493ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\leq g}" loading="lazy">, so gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu \leq \int _{\Omega }g\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ab7fb2561759f74975c12aef2001848414973c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.24ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu \leq \int _{\Omega }g\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Integral kann getrennt werden

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega \backslash N}f\ \mathrm {d} \mu +\int _{N}f\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fe514d3ca03ade1d3355698f04f152a961b9670.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:31.448ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega \backslash N}f\ \mathrm {d} \mu +\int _{N}f\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega \cup N}f\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu +\int _{N}f\ \mathrm {d} \mu -\int _{\Omega \cap N}f\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/238963438aa98c20c23f8f48dd205da0dd0269c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:44.77ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega \cup N}f\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu +\int _{N}f\ \mathrm {d} \mu -\int _{\Omega \cap N}f\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b086a7bc28aaf004061c502ae9f51ba9748fbbd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega )}" loading="lazy"> messbar mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mu (A)=0\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mu (A)=0\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0b15bef94d2bdc2e715ed929bd47f187d497547.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \mu (A)=0\ }" loading="lazy">, so gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \int _{A}f\mathrm {d} \mu =0\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/734562608c059af42945ecf38cc62c0bc87819e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.927ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ \int _{A}f\mathrm {d} \mu =0\ }" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konvergenzsätze">Konvergenzsätze</h2></div>

Einer der wichtigsten Vorzüge des Lebesgue-Integrals sind die aus mathematischer Sicht sehr schönen Konvergenzsätze. Dies betrifft die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral bei Funktionenfolgen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a74d4bc92cf0ebbafe88f965bf9b3e13064dce71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.83ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\ }" loading="lazy">. Die wichtigsten Konvergenzsätze sind:

<dl><dt><a href="Satz_von_der_monotonen_Konvergenz" title="Satz von der monotonen Konvergenz">Satz von der monotonen Konvergenz</a> (<a href="Beppo_Levi" title="Beppo Levi">Beppo Levi</a>, 1906)</dt>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})),n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f3c6bb463068849e451569aaf77b7145ba23714.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.14ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})),n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> eine <a href="Monoton_wachsende_Funktionenfolge" class="mw-redirect" title="Monoton wachsende Funktionenfolge">monoton wachsende Folge</a> von nichtnegativen, messbaren Funktionen, so gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }\sup _{n\in \mathbb {N} }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d51a44fb03bd7a9646bfb049c09bd79f9fc1de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:45.598ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }\sup _{n\in \mathbb {N} }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

<dl><dt><a href="Satz_von_der_majorisierten_Konvergenz" title="Satz von der majorisierten Konvergenz">Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz</a> (Henri Léon Lebesgue, 1910)</dt>

<dd>Konvergiert die Folge der messbaren Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1581e982c662c5ce41f3962699acb951798a4f4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.193ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-fast überall gegen die messbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/017be3d51d2760a730ad5db22271adb45b6215d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.114ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}" loading="lazy"> und sind die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.358ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy">, betragsmäßig <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-fast überall durch eine integrierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51b872437879e1a72256331da2bbc40e54e4770b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.951ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}" loading="lazy"> beschränkt, dann gilt:</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist integrierbar,</li>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80dc824b0fe1745ad8751956a6718f3c8fed409e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.141ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"> und</li>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }|f-f_{n}|\ \mathrm {d} \mu =0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f805c3dc3fdd018c1d55c2f1d8505e0f850363ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.711ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }|f-f_{n}|\ \mathrm {d} \mu =0.}" loading="lazy"></li></ul></dd></dl>

<dl><dt><a href="Lemma_von_Fatou" title="Lemma von Fatou">Lemma von Fatou</a> (<a href="Pierre_Fatou" title="Pierre Fatou">Pierre Fatou</a>, 1906)</dt>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1581e982c662c5ce41f3962699acb951798a4f4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.193ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{n}\colon (\Omega ,\Sigma ,\mu )\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy">, nichtnegative messbare Funktionen, dann gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d1887d1ac57ef0eab07fd777322ee8d1fa15a88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.872ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Riemann-_und_Lebesgue-Integral">Riemann- und Lebesgue-Integral</h2></div>

Im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa509a134d45e796a6c29cf98237b4a2ff85fd8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }" loading="lazy"> mit dem Lebesgue-Maß gilt: Ist eine Funktion auf einem kompakten Intervall <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-integrierbar</a>, so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die Werte beider Integrale stimmen überein. Hingegen ist nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch Riemann-integrierbar.

Allerdings muss eine <a href="Uneigentliches_Integral" title="Uneigentliches Integral">uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion</a> nicht als Ganzes Lebesgue-integrierbar sein; der entsprechende Grenzwert von Lebesgue-Integralen existiert jedoch nach den obigen Bemerkungen und liefert denselben Wert wie für die Riemann-Integrale. Ist aber <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/940e58aa437f429f47fd743a819e41fedaa1ff9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.572ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f|}" loading="lazy"> uneigentlich Riemann-integrierbar, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sogar als Ganzes Lebesgue-integrierbar.

Man kann leicht ein Beispiel einer uneigentlich Riemann-integrierbaren Funktion angeben, die nicht Lebesgue-integrierbar ist: Ist nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine Treppenfunktion mit den Flächen 1, -1/2, 1/3 usw., dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> uneigentlich Riemann-integrierbar. Denn das Integral entspricht gerade der <a href="Harmonische_Reihe" title="Harmonische Reihe">alternierenden harmonischen Reihe</a>. Wäre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Lebesgue-integrierbar, so würde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{+}}|f|\,\mathrm {d} \lambda <\infty }">

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{+}}|f|\,\mathrm {d} \lambda <\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6403855115ebaee3452ae466767380ec16b8bbb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.135ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{+}}|f|\,\mathrm {d} \lambda <\infty }" loading="lazy"> gelten. Dies ist jedoch nicht der Fall, da die <a href="Harmonische_Reihe" title="Harmonische Reihe">harmonische Reihe</a> divergent ist. Folglich existiert das entsprechende Lebesgue-Integral nicht. Die Situation ist in Abbildung 2 dargestellt.

Wichtiger ist der umgekehrte Fall einer Lebesgue-integrierbaren Funktion, die nicht Riemann-integrierbar ist.

Das bekannteste Beispiel dafür ist die <a href="Dirichlet-Funktion" title="Dirichlet-Funktion">Dirichlet-Funktion</a>:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e4e63f9baf0aa15d9d148023c36b864426eed06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}" loading="lazy"></dd>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}1&,x\in \mathbb {Q} \\0&,{\text{sonst}}.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d96303f14348af3cabbf8a33cbfd7c9ec9e84c80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.936ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}1&,x\in \mathbb {Q} \\0&,{\text{sonst}}.\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist nicht Riemann-integrierbar, da alle Untersummen stets 0 und alle Obersummen stets 1 sind. Da aber <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} \,,}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} \,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65c07fcdfcde55c750487ff7d7e1c9af9a81a43b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.842ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} \,,}" loading="lazy"> die Menge der rationalen Zahlen, in der Menge der reellen Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist die Funktion fast überall 0. Also existiert das Lebesgue-Integral und besitzt den Wert 0.

Der wesentliche Unterschied im Vorgehen bei der Integration nach Riemann bzw. Lebesgue besteht darin, dass beim Riemann-Integral der Definitionsbereich (<a href="Abszisse" class="mw-redirect" title="Abszisse">Abszisse</a>), beim Lebesgue-Integral jedoch die Bildmenge (<a href="Ordinate" class="mw-redirect" title="Ordinate">Ordinate</a>) der Funktion unterteilt wird. An obigen Beispielen lässt sich bereits erkennen, dass sich dieser Unterschied durchaus als entscheidend herausstellen kann.

Henri Lebesgue sagte über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral:

„Man kann sagen, dass man sich bei dem Vorgehen von Riemann verhält wie ein Kaufmann ohne System, der Geldstücke und Banknoten zählt in der Reihenfolge, wie er sie in die Hand bekommt; während wir vorgehen wie ein umsichtiger Kaufmann, der sagt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(E_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34de5e13ae349d0d706afecd59c0c25407e2a8ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(E_{1})}" loading="lazy"> Münzen zu einer Krone, macht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\cdot m(E_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\cdot m(E_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f84dcb710d370288bf5d1dd8f40da4e717db7feb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1\cdot m(E_{1})}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(E_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dd97d98b48dd28141b4ae332aeba613f96f1f0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(E_{2})}" loading="lazy"> Münzen zu zwei Kronen, macht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot m(E_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot m(E_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a125e3eaab688e49cca94b32a6400a96be263cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot m(E_{2})}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(E_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c836ed62df04689a29cd45702c70a2d15976d31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(E_{3})}" loading="lazy"> Münzen zu fünf Kronen, macht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5\cdot m(E_{3})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5\cdot m(E_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcb23b3f961c0262c307494f7af437343af85f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 5\cdot m(E_{3})}" loading="lazy">,</dd></dl>

usw., ich habe also insgesamt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=1\cdot m(E_{1})+2\cdot m(E_{2})+5\cdot m(E_{3})+\ldots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=1\cdot m(E_{1})+2\cdot m(E_{2})+5\cdot m(E_{3})+\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e706d92d8bbecc4c25ec5096bf048509acce190.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S=1\cdot m(E_{1})+2\cdot m(E_{2})+5\cdot m(E_{3})+\ldots }" loading="lazy">.

Die beiden Verfahren führen sicher den Kaufmann zum gleichen Resultat, weil er – wie reich er auch sei – nur eine endliche Zahl von Banknoten zu zählen hat; aber für uns, die wir unendlich viele Indivisiblen zu addieren haben, ist der Unterschied zwischen beiden Vorgehensweisen wesentlich.“

</blockquote>

</div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261921330">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>Henri Lebesgue, 1926: <cite style="font-style:normal">nach Jürgen Elstrodt</cite></div></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bochner-Integral">Bochner-Integral</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Bochner-Integral" title="Bochner-Integral">Bochner-Integral</a></div>

Eine direkte Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals für <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>-wertige Funktionen stellt das <a href="Bochner-Integral" title="Bochner-Integral">Bochner-Integral</a> dar. Es hat fast alle Eigenschaften des Lebesgue-Integrals, wie zum Beispiel den Satz von der majorisierten Konvergenz.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="J%C3%BCrgen_Elstrodt" title="Jürgen Elstrodt">Jürgen Elstrodt</a>: <cite style="font-style:italic">Maß- und Integrationstheorie</cite>. Achte, erweiterte und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-57938-1, IV. Das Lebesgue-Integral, S. 135–177, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-57939-8">10.1007/978-3-662-57939-8</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lebesgue-Integral&rft.atitle=IV.+Das+Lebesgue-Integral&rft.au=J%C3%BCrgen+Elstrodt&rft.btitle=Ma%C3%9F-+und+Integrationstheorie&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-57939-8&rft.edition=Achte%2C+erweiterte+und+aktualisierte+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662579381&rft.pages=135-177&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none"> </li>

<li><a href="Walter_Rudin" title="Walter Rudin">Walter Rudin</a>: <cite style="font-style:italic">Analysis</cite>. 2., korrigierte Auflage. Oldenbourg, München / Wien 2002, ISBN 3-486-25810-9, 11. Die Lebesguesche Theorie, S. 353–392.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lebesgue-Integral&rft.atitle=11.+Die+Lebesguesche+Theorie&rft.au=Walter+Rudin&rft.btitle=Analysis&rft.date=2002&rft.edition=2.%2C+korrigierte&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3486258109&rft.pages=353-392&rft.place=M%C3%BCnchen+%2F+Wien&rft.pub=Oldenbourg" style="display:none"> </li>

<li>Klaus D. Schmidt: <cite style="font-style:italic">Maß und Wahrscheinlichkeit</cite>. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, 8. Lebesgue-Integral, 9. Berechnung des Lebesgue-Integral, S. 109–190, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-21026-6">10.1007/978-3-642-21026-6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lebesgue-Integral&rft.atitle=8.+Lebesgue-Integral%2C+9.+Berechnung+des+Lebesgue-Integral&rft.au=Klaus+D.+Schmidt&rft.btitle=Ma%C3%9F+und+Wahrscheinlichkeit&rft.date=2011&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-21026-6&rft.edition=2.%2C+durchgesehene+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783642210259&rft.pages=109-190&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Olav_Kallenberg" title="Olav Kallenberg">Olav Kallenberg</a>: <cite style="font-style:italic">Foundations of Modern Probability</cite> (= <cite style="font-style:italic">Probability Theory and Stochastic Modelling</cite>. Band 99). 3. Auflage. Springer, Cham 2021, ISBN 978-3-03061870-4, S. 21, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-030-61871-1">10.1007/978-3-030-61871-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lebesgue-Integral&rft.au=Olav+Kallenberg&rft.btitle=Foundations+of+Modern+Probability&rft.date=2021&rft.doi=10.1007%2F978-3-030-61871-1&rft.edition=3&rft.genre=book&rft.isbn=9783030618704&rft.pages=21&rft.place=Cham&rft.pub=Springer&rft.series=Probability+Theory+and+Stochastic+Modelling" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>